Леонид Быков родился 12 декабря 1928 года в селе Знаменское Донецкой области. В годы войны он с семьей находился в эвакуации в Барнауле. С детства Леонид мечтал об авиации и дважды пробовал поступить в летные училища. В 1945 году он попал в Ленинградскую спецшколу для летчиков. Однако война заканчивалась и училище расформировали. Тогда Леонид Быков поступил в Харьковский театральный институт и после его окончания около десяти лет работал в Харьковском театре им. Т.Шевченко. В кино актер дебютировал в 1952 году в фильме «Судьба Марины». Благодаря успеху картины Быкова заметили, и спустя два года режиссеры А.Ивановский и Н.Кошеверова пригласили его на рол