Родился 19 августа 1920 года в деревне Коробово ныне Клепиковского района Рязанской области. Образование среднее. После окончания школы фабрично-заводского обучения при Шатурской ГРЭС, работал на ней слесарем.
В Красной Армии с 1940 года. Служил слесарем в мастерской танкового полка, дислоцированного в городе Львов (Украина). Прошел подготовку и овладел специальностью механика-водителя танка, самостоятельно обкатывал танки после ремонта.
На фронте в Великую Отечественную войну с июня 1941 года. В составе Юго-Западного фронта с боями отходил в сторону Киева, Харькова. В марте 1942 года Синельщиков был направлен в 20-й учебный танковый полк для переподготовки на механика-водителя, потом участвовал в составе 18-го разведывательного танкового батальона в битве на Курской дуге, в других сражениях. С августа 1943 года Синельщиков воевал на Западном фронте. В бою за Ельню он раздавил своим танком два вражеских орудия и уничтожил три пулемётные точки. В числе первых ворвался в город под сильным огнём противника и был ранен. После госпиталя в январе 1944 года был направлен механиком-водителем танка 3-го танкового батальона 18-й гвардейской танковой бригады. Участвовал в освобождении Белоруссии, Польши, прошел с боями Восточную Померанию.
Механик-водитель 18-й гвардейской танковой бригады (5-я гвардейская танковая армия, 1-й Прибалтийский фронт) гвардии сержант Синельщиков 6 октября 1944 года в бою в районе населённого пункта Пежи (39 километров западнее города Шяуляй, Литва), умело маневрируя боевой машиной, помог экипажу уничтожить два тяжелых танка противника, самоходное орудие и свыше десяти гитлеровцев.
Приказом от 15 декабря 1944 года гвардии сержант Синельщиков награждён орденом Славы 3-й степени (№ 320348).
25-28 февраля 1945 года в наступательных боях в районе населённых пунктов Яжелибец, Боболице (Польша) танк гвардии старшины Синельщикова (18-я гвардейская танковая бригада, 3-й гвардейский танковый корпус, 19-я армия, 2-й Белорусский фронт) прошёл с боями 80 километров без единой аварии. 27 февраля 1945 года на подступах к городу Бублиц (ныне Боболице, Польша) подбил два танка, уничтожил несколько автомашин и бронетранспортёров. Экипаж одним из первых ворвался в город, уничтожил пушку, три пулемётные точки и свыше отделения живой силы противника.
Приказом по 19-й армии от 23 апреля 1945 года гвардии гвардии старшина Синельщиков награждён орденом Славы 2-й степени (№ 29759).
В апреле 1945 года в боях на левом берегу реки Одер южнее города Штеттин (ныне Щецин, Польша) механик-водитель той же бригады и корпуса (70-я армия, 2-й Белорусский фронт) Синельщиков, действуя в составе экипажа, поджёг головную машину вражеской колонны на шоссе Берлин-Штеттин и уничтожил большое количество боевой техники и живой силы.
Приказом по 70-й армии от 14 мая 1945 года гвардии старшина Синельщиков повторно награждён орденом Славы 2-й степени повторно.
В 1946 году демобилизован.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 1 октября 1968 года в порядке перенаграждения Синельщиков Матвей Трофимович орденом Славы 1-й степени (№ 2936).
Вернулся в родную деревню. Работал на механо-тракторной станции. С 1950 года жил в селе Новохаритоново Раменского района Московской области. Работал механиком в СМУ-5 треста "Мособлстрой". В 1970-е годы стал героем телепередачи "Золото, а не машина" из цикла "Солдатские мемуары", подготовленного писателем К.М. Симоновым.
Скончался 10 февраля 1997 года.