О математике простым языком: от школы к университету

Традиционно считается, что математика возникла из таких практических нужд, как счёт, измерение земли, строительство. С этим сложно поспорить. Но очень быстро математика оторвалась от своих прикладных корней. Геометрия Евклида, бывшая тысячелетия образцом строгости, описывает пространство, которого нет в природе. Евклидовы прямые бесконечно тонки, плоскости идеально ровны, а параллельные линии действительно никогда не пересекаются. В физическом мире таких объектов не существует. Тем не менее, двухтысячелетняя геометрия Евклида оказалась необычайно полезна для описания реальности на масштабах, доступных человеку. Она полезна, но не истинна в последней инстанции, ибо, как узнали мы в XX веке, Вселенная устроена по законам неевклидовой геометрии. Эйнштейну понадобился язык, который математики создали задолго до него, просто из любопытства, проверяя границы своей собственной логики. Лобачевский, Бойяи и Гаусс, независимо друг от друга, создали неевклидову геометрию, отказавшись от пятого п

Когда вы в последний раз играли в крестики-нолики? Этой игре не нужны батарейки, гаджеты или стабильный интернет. Достаточно клочка бумаги или, в крайнем случае, запотевшего стекла в автобусе. Две пересекающиеся линии, две перпендикулярные — и вот уже готово поле. И кто бы мог подумать, что эта незамысловатая сетка окажется невообразимо точной копией нашего с вами существования. Мы все хотим ходить первыми. Даже если великодушно уступаем право первого хода, в глубине души нам кажется, что тот, кто начинает, — уже наполовину победитель. Нам нужно иллюзия контроля, ощущение, что мы задаем тон, диктуем правила. И вот мы ставим свой первый крестик. В самый центр! Классическая ошибка новичка — думать, что центр — гарантия успеха. На самом деле центр лишь создает иллюзию могущества. Ты в эпицентре, ты главный, но именно с этого момента каждый твой шаг становится предсказуемым. Так и в жизни: первые победы часто пьянят сильнее, чем следовало бы, и мы забываем, что самое опасное время — это к

Критика бывает разной — конструктивной, разгромной, предвзятой, излишне субъективной и так далее, — но, в целом, следует назвать критику отношением особого рода, которое мы проявляем к обозреваемым объектам и субъектам. Конечно, в жизни критика инструмент очень полезный, особенно в те моменты, когда нами пытаются манипулировать, обмануть нас, воспользоваться нашем доверием. Критика помогает не быть наивными. В идеале, в основе критического подхода лежат рациональность и логика, благодаря которым мы и связываем факты в единое смысловое целое, видим взаимосвязи между, вроде бы, отдалёнными друг от друга аспектами. Но было бы всё так просто! Целью критики может стать всё что угодно, даже мы сами — наши идеи, задумки, решения, помыслы, в том числе, образ нас самих, как мы видим себя в глазах других. Весь наш внутренний мир находится под прицелом неусыпного критического взгляда, что от нас же исходит. И вроде бы всё прекрасно — те же рациональность и логика правят бал; все свои сильные и с

Футурология — это область знания, которая пытается заглянуть за горизонт настоящего и представить, каким может стать мир через десять, пятьдесят или сто лет. В отличие от научной фантастики, которая, как правило, «украшает» свои картины любыми вымыслами, футурология стремится к строгости. Её инструменты состоят из экстраполяции трендов, моделирования сложных систем, анализа больших данных и междисциплинарного синтеза. Экономист, физик, социолог, биолог и специалист по искусственному интеллекту, собранные за одним столом, могут увидеть то, что не заметит каждый по отдельности. Футурология не даёт пророчеств, но предоставляет наиболее вероятные сценарии развития будущего. Среди тех, кто стоял у истоков футурологии как дисциплины, особое место занимает Герман Кан, физик по образованию, работавший в знаменитой корпорации RAND, а затем основавший Гудзоновский институт. Кан прославился своими работами по стратегическому планированию и сценарному анализу. Он не боялся рассматривать самые мра

Мы живём в эпоху, когда информация стала доступнее, чем когда-либо. Учёные освоили технологию редактирования гены, они способны запускать ракеты к Марсу, создавать искусственный интеллект, пишущий стихи и диагностирующий болезни. Кажется, что наше знание о мире достигло небывалых высот. И чем больше мы знаем, тем увереннее должны смотреть вперёд, тем точнее должны быть наши прогнозы. Но происходит обратное: горизонт планирования сокращается, предсказания экономистов сбываются всё реже, а будущее, которое ещё вчера казалось ясным, сегодня выглядит размытым и тревожным. Парадокс коренится в самой природе накопленного знания. Технические знания, которые мы накапливаем, — это не знание о целях и смыслах, а знание о средствах. Каждый новый технологический прорыв и добавляет нам инструментов, и создаёт новые степени свободы, новые переменные для непредвиденных взаимодействий. Мир становится сложнее, а сложность — это враг предсказуемости. Попробуем представить себе мир сто лет назад, в 1920

Запуская любимую компьютерную игру, вы погружаетесь в мир, который кажется живым и настоящим. Персонажи двигаются плавно, ветер колышет траву, враги реагируют на ваши действия, а случайные события словно бы происходят сами собой. За этим представлением стоит огромная команда разработчиков: художники рисуют миры, программисты пишут код, сценаристы придумывают сюжеты. Но есть ещё один невидимый герой, без которого ни одна игра не смогла бы даже запуститься. Барабанная дробь... Это математика! И пусть её не видно в финальном продукте, каждый пиксель на экране, каждое движение и каждый просчёт искусственного интеллекта представляют собой, в основе своей, чистейшую математику. Каждую секунду игра десятки или даже сотни раз пересчитывает положение всех объектов на экране. Этот процесс называется рендерингом, и без математики он был бы невозможен. Координаты персонажа, его скорость, ускорение, вектор движения обрабатываются с помощью специальных формул. Если герой бежит с постоянной скорость

Когда мы произносим слова «алгебра», «алгоритм», «цифра», мы редко задумываемся об их происхождении. А между тем все они пришли в европейские языки из арабского, и все они — наследие эпохи, которую историки называют золотым веком арабской науки. В VIII–XIII веках, когда Европа погружалась в раннее Средневековье, а античное наследие казалось утерянным навсегда, на Востоке кипела интеллектуальная жизнь. Учёные переводили греческие рукописи, спорили о трудах индийских математиков, строили обсерватории и создавали то, без чего немыслима современная математика. Именно здесь родилась алгебра, арабские цифры завоевали мир, а само слово «математика» обрело новые смыслы. Всё началось с перевода. В 830 году в Багдаде халиф Аль-Мамун основал Дом мудрости (Байт аль-Хикма) — нечто среднее между академией, библиотекой и переводческим центром. Сюда стекались рукописи со всего известного мира: труды Евклида, Архимеда, Птолемея, Диофанта. Их переводили на арабский, комментировали, дополняли и начинали

Когда математик выводит новую теорему, он испытывает странное чувство, которое трудно описать словами. С одной стороны, он ощущает себя творцом — ведь именно он, напрягая ум, нашёл путь через лес символов и выстроил стройную цепочку рассуждений. С другой — его не покидает ощущение, что теорема уже была там, ждала его, как ждёт путешественника ещё не открытый материк. Он не придумал её, он её нашёл. Это двойственное переживание — быть одновременно и творцом, и первооткрывателем — лежит в самом сердце математического опыта. И оно ведёт к вопросу: математика открывается или изобретается? Существуют ли числа и геометрические фигуры где-то в мире идей, независимо от нашего сознания? Древние греки, впервые задавшие этот вопрос всерьёз, склонялись к тому, что математические истины существуют независимо от человека. Для Платона числа и геометрические фигуры обитали в особом мире, мире идей, вечном и неизменном. Мы не изобретаем теорему Пифагора, мы её открываем, как мореплаватель открывает но

Представьте человека, который произносит: «То, что я сейчас говорю, — ложь». Если высказывание истинно, значит, он действительно говорит правду, однако утверждает он, что лжёт. Следовательно, оно должно быть ложным. Но если оно ложно, значит, он не говорит правду, то есть на самом деле он не лжёт. Следовательно, оно истинно. Это, казалось бы, безобидное предложение заводит логику в тупик. Оно истинно тогда и только тогда, когда оно ложно. Это и есть парадокс лжеца — одна из древнейших интеллектуальных головоломок, которая уже две тысячи лет не даёт покоя философам, логикам и математикам. История парадокса начинается задолго до появления формальной логики. В VI веке до нашей эры критский философ и поэт Эпименид произнёс фразу, которая дошла до нас в пересказе апостола Павла: «Все критяне — лжецы». Парадокс здесь неявный, но уже ощутимый. Сам Эпименид был критянином. Если все критяне всегда лгут, то и его утверждение — ложь, а значит, не все критяне лжецы, и он сам, возможно, говорит пр