Слово это пришло к нам ещё во времена Екатерины II.

Императрица во многом продолжала политике Петра I и потому продолжала приглашать в Российскую Империю иностранцев для обучения русских мастеров новым ремеслам.
Оно появилось от баварского глагола «zuzeln», что означает сосание, звукоподражание. Цуциками называли малышей, сосунков, щенков.
Иногда этим же словом называли неопытных новичков в какой-то деятельности, например, «цуцик ты ещё в этом деле».
Зато оно употребляется в фразеологизме «замёрз как цуцик».
Вероятно, и эта поговорка пришла к нам из немецкого. У них есть такая фраза — frieren wie ein junger Hund — мёрзнуть, как щенок. Но в русской поговорке вместо щенка оказался цуцик. Так и прижилось.