После окончания средней школы Леонид сделал попытку поступления во ВГИК, но провалился на экзаменах. Год работы на фабрике кинооптики не прошёл для Куравлёва бесследно, и со второй попытки Леонид становится студентом ВГИКа.

Амплуа комика закрепилось за актёром с первой же большой роли - Камушкина в картине С.А. Милькиной «Мичман Панин», снятой в 1960 году. В этом же году Куравлёв оканчивает институт.

После ряда пусть и небольших, но очень полезных с точки зрения обучения мастерству ролей Леонид Вячеславович принимает участие в съёмках двух фильмов В.М. Шукшина: «Живет такой парень» (1964) и «Ваш сын и брат» (1965).

Здесь актёр раскрывается в двух совершенно разных ипостасях: лирической и трагической соответственно. И каждую из них Куравлёв сыграл настолько убедительно и гениально, что предложения сняться в том или ином фильме заставили актёра надолго забыть об отдыхе и покое.

Особое место в актёрской деятельности Леонида Вячеславовича занимает период сотрудничества с Леонидом Гайдаем. С 1970 по 1980 годы этот тандем создал массу любимых зрителем персонажей. А популярности и всенародной любви к Куравлёву после роли Жоржа Милославского в «Иван Васильевич меняет профессию» могут позавидовать (и завидуют) многие «супер-кинозвёзды» молодого поколения.

Среди других наиболее известных его киноработ - роли в картинах: «Вий», «Не может быть!», «Место встречи изменить нельзя», «Золотой телёнок», «Афоня», «Семнадцать мгновений весны», «Ищите женщину», «ТАСС уполномочен заявить…», «Трест, который лопнул», «Самая обаятельная и привлекательная».

Заслуженный и Народный артист РСФСР, кавалер орденов «Знак Почета» и «За заслуги перед Отечеством» IV степени, член Союза кинематографистов - Леонид Вячеславович Куравлёв за свою творческую карьеру сыграл более 200 ролей, а также принимал участие в озвучивании мультфильмов и вёл телепередачи.

Скончался 30 января 2022 года в хосписе в Москве на 86-м году жизни от остановки сердца. Похоронен на Троекуровском кладбище Москвы рядом с супругой Ниной Васильевной.